Удлинённый квадратный гиробикупол

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Псевдоромбокубооктаэдр
Elongated square gyrobicupola.png
Псевдоромбокубооктаэдр
Тип Многогранник Джонсона
Свойства выпуклый, единственная вершинная фигура
Комбинаторика
Элементы

48  рёбер
24  вершины

Грани 8 треугольников,
18 квадратов
Конфигурация вершины 8+16(3.43)
Развёртка
Johnson solid 37 net.png
Двойственный многогранник Дельтоидный псевдоикосотетраэдр[en]
Классификация
Группа симметрии D4d

В геометрии удлинённый квадратный гиробикупол или псевдоромбокубооктаэдр (по Залгаллеру — удлинённый четырёхскатный повёрнутый бикупол) — это один из многогранников Джонсона (J37 = (по Залгаллеру) М58+М5). Тело, обычно, не считается архимедовым телом, хотя его грани и являются правильными многоугольниками и многоугольники вокруг каждой вершины те же самые, но, в отличие от 13 архимедовых тел, многогранник не обладает глобальной симметрией, переводящей любую вершину в любую другую (хотя Грюнбаум предложил добавить многогранник к традиционному списку архимедовых тел в качестве 14-го тела).

Тело, возможно, было открыто Иоганном Кеплером в его перечислении архимедовых тел, но первое ясное появление многогранника в печати было в работе Дункана Соммервиля[en] в 1905[1]. Многогранник был независимо переоткрыт Д. Ч. П. Миллером[en] в 1930 (по ошибке, когда он пытался построить модель ромбокубооктаэдра[2], а затем его переоткрыл Ашкинуз (V. G. Ashkinuse) в 1957[3].

Многогранник Джонсона — это один из 92 строго выпуклых многогранников, имеющих правильные грани, но не являющийся однородным[en] (то есть, он не правильный, не архимедов, не призма или антипризма). Название многограннику дал Нортон Джонсон[en], который первым перечислил эти многогранники в 1966[4].

Построение и связь с ромбокубоктаэдром[править | править код]

Как показывает название, многогранник может быть построен как удлинение квадратного гирокупола[en] (J29 = М5+М5) со вставкой восьмиугольной призмы между двумя половинками.

Small rhombicuboctahedron.png
Ромбокубооктаэдр
Exploded rhombicuboctahedron.png
Разобранный на секции
ромбокубооктаэдр
Pseudorhombicuboctahedron.png
Псевдоромбокубооктаэдр

Тело можно рассматривать также как результат поворота одного из квадратных куполов (J4 = М5) ромбокубооктаэдра (который является одним из архимедовых тел и который известен как удлинённый квадратный ортобикупол) на 45 градусов. Таким образом, многогранник является повёрнутым ромбокубооктаэдром, откуда тело получило второе название — псевдоромбокубооктаэдр. Иногда о нём говорят как о "четырнадцатом архимедовом теле".

Это свойство не имеет место для пятиугольного двойника, повёрнутого ромбоикосододекаэдра.

Симметрии и классификация[править | править код]

Удлинённый квадратный гиробикупол обладает симметрией D4d. Тело локально вершинно однородно — расположение четырёх граней, смежных любой вершине, то же самое, что и у других вершин. Это свойство уникально среди тел Джонсона. Однако многогранник не вершинно транзитивен, а следовательно, не считается (как правило) архимедовым телом, поскольку существует пара вершин, которые не переходят одна в другую изометрией. По существу, можно различить два вида вершин по "соседям их соседей." Другой путь увидеть, что многогранник не вершинно транзитивен — обратить внимание на то, что существует только один пояс из восьми квадратов по экватору. Если выкрасить грани согласно симметрии D4d, получим:

pseudorhombicuboctahedron Дельтоидный псевдоикосотетраэдр[en]
(двойственный)
Johnson solid 37 net.png
развёртка
Johnson solid 37.png Pseudo-strombic icositetrahedron.png

Есть 8 (зелёных) квадратов вдоль экватора, 4 (красных) треугольника и 4 (жёлтых) квадрата над и под экватором и по одному (синему) квадрату на каждом полюсе.

Связанные многогранники и соты[править | править код]

Удлинённый квадратный гиробикупол может образовать заполняющие пространство соты совместно с правильным тетраэдром, кубом и кубооктаэдром. Он также образует другие соты с тетраэдром, квадратной пирамидой и различными комбинациями кубов, удлинённых четырёхугольных пирамид и удлинённых четырёхугольных бипирамид [5].

Большой псевдоромбокубоктаэдр[en] является невыпуклым аналогом псевдоромбокубооктаэдра, он построен аналогичным образом из невыпуклого большого ромбокубооктаэдра[en].

В химии[править | править код]

Ион поливанадата [V18O42]12− имеет псевдоромбокубооктаэдральную структуру, в которой каждая квадратная грань действует как основание пирамиды VO5[6].

Примечания[править | править код]

  1. Sommerville, 1905, с. 725–747.
  2. Ball, 1939, с. 137.
  3. Grünbaum, 2009, с. 89–101.
  4. Johnson, 1966, с. 169–200.
  5. J37 honeycombs. Gallery of Wooden Polyhedra. Проверено 21 марта 2016.
  6. Greenwood, Earnshaw, 1997, с. 986.

Литература[править | править код]

  • Branko Grünbaum An enduring error (англ.) // Elemente der Mathematik. — 2009. — Vol. 64, iss. 3. — P. 89–101. — DOI:10.4171/EM/120. Перепечатано в
    • The Best Writing on Mathematics 2010 / Mircea Pitici. — Princeton University Press, 2011. — С. 18–31.
  • D. M. Y. Sommerville Semi-regular networks of the plane in absolute geometry (англ.) // Transactions of the Royal Society of Edinburgh. — 1905. — Vol. 41. — P. 725–747. — DOI:10.1017/s0080456800035560.. Как цитировано у Грюнбаума ((Grünbaum 2009)).
  • W.W. Rouse Ball, H. S. M. Coxeter. Mathematical recreations and essays. — American edition. — New York: The Macmillan Company, 1947. — С. 137.
  • Norman W. Johnson Convex polyhedra with regular faces (англ.) // Canadian Journal of Mathematics. — 1966. — Vol. 18. — P. 169–200. — DOI:10.4153/cjm-1966-021-8.
  • Norman Greenwood[en], Alan Earnshaw. Chemistry of the Elements. — 2nd. — Butterworth-Heinemann, 1997. — ISBN 0-08-037941-9.

Дополнительная литература[править | править код]

  • , ISBN 0-520-03056-7  Chapter 2: Archimedean polyhedra, prisma and antiprisms, p. 25 Pseudo-rhombicuboctahedron

Ссылки[править | править код]