Теорема Александрова о развёртке

Теорема Александрова о развёртке — теорема о существовании и единственности замкнутого выпуклого многогранника с данной развёрткой, доказанная Александром Даниловичем Александровым.^[1] Единственность в этой теореме является обобщением теоремы Коши о многогранниках и имеет схожее доказательство.

Обобщение этой теоремы на произвольные метрики на сфере сыграло ключевую роль в становлении и развитии Александровской геометрии. Другое доказательство, основанное на деформации трёхмерного многогранного пространства, было предложено Ю. А. Волковым в его кандидатской диссертации 1955 года.^[2]

Формулировка[править | править код]

Многогранная метрика на сфере изометрична поверхности выпуклого многогранника тогда и только тогда, когда сумма углов при любой её вершине не превосходит $2{\cdot }\pi$ . Более того, многогранник определяется метрикой на своей поверхности с точностью до конгруэнтности.

При этом допускается, что многогранник вырождается в плоский многоугольник, в этом случае поверхность многогранника определяется как удвоение многоугольника в его границе, то есть две копии многоугольника склеенные по соответствующим точкам границы.

Замечания[править | править код]

В оригинальной формулировке Александров пользуется понятием развёртки многогранника на плоскости, то есть набора плоских многоугольников и правил склейки этих многоугольников в многогранную метрику. Одну из таких развёрток можно получить из набора всех граней многогранника с естественным правилом склейки. Однако в общем случае многоугольники развёртки могут перекрываться с несколькими гранями; смотри рисунок.

Вариации и обобщения[править | править код]

(Теорема Александрова) Внутренняя метрика на сфере изометрична поверхности выпуклого тела тогда и только тогда, когда она имеет неотрицательную кривизну в смысле Александрова. При этом допускается, что тело вырождается в плоскую фигуру, в этом случае поверхность фигуры определяется как её удвоение.
- (Теорема Погорелова) Более того, выпуклое тело определяется однозначно с точностью до конгруэнтности.
- (Теорема Оловянишникова) Полная метрика $d$ на плоскости $\mathbb {R} ^{2}$ изометрична поверхности выпуклого множества $K\subset \mathbb {R} ^{3}$ только тогда, когда она имеет неотрицательную кривизну в смысле Александрова. Более того конус на бесконечности $K$ можно задать произвольно при условии, что его граница изометрична конусу на бесконечности $(\mathbb {R} ^{2},d)$ .