Символ Шлефли

Символ Шлефли — комбинаторная характеристика правильного многогранника, применяется для описания правильных многогранников во всех размерностях. Назван в честь швейцарского математика Людвига Шлефли, описавшего все правильные многогранники в евклидовом пространстве произвольной размерности.

Построение

Символ Шлефли для правильного многогранника $\Gamma$ размерности $n$ записывается в виде $\{p_{1},p_{2},p_{3},\ldots p_{n-1}\}$. Он индуктивно определяется следующим образом:

1. Определим $p_{1}$как число сторон двумерной грани многогранника $\Gamma$.
2. Выберем одну из вершин $P$ многогранника $\Gamma$ и рассмотрим все вершины $Q_{1},\dots ,Q_{k}$, соединённые с ней ребром. Заметим, что вершины $Q_{1},\dots ,Q_{k}$ лежат на гиперплоскости $H$, ортогональной прямой, соединяющей центр многогранника с $P$. Сечение многогранника $\Gamma$ с гиперплоскостью $H$ представляет собой правильный многогранник $\Gamma '$ размерности $n-1$. Поскольку все вершины $\Gamma$ равноправны, тип этого многогранника не зависит от выбора вершины $P$. Определим $p_{2}$ как число сторон двумерной грани многогранника $\Gamma ^{\prime }$.
3. Продолжая действовать таким образом до тех пор, пока получающееся сечение имеет двумерную грань, мы получим символ Шлефли многогранника $\Gamma$.

Заметим, что символ Шлефли $n$-мерного многогранника состоит из $n-1$ целого числа, каждое из которых не меньше 3.

Примеры

Размерность пространства	Символ Шлефли	Многогранник
$1$	$\{\}$	Отрезок
$2$	$\{3\}$	Правильный треугольник
$2$	$\{4\}$	Правильный четырёхугольник
$2$	$\{5\}$	Правильный пятиугольник
$2$	$\{6\}$	Правильный шестиугольник
$2$	$\{n\}$	Правильный n-угольник
$3$	$\{3,3\}$	Правильный тетраэдр
$3$	$\{4,3\}$	Куб
$3$	$\{3,4\}$	Октаэдр
$3$	$\{3,5\}$	Икосаэдр
$3$	$\{5,3\}$	Додекаэдр
$4$	$\{3,3,3\}$	Пятиячейник
$4$	$\{4,3,3\}$	Тессеракт
$4$	$\{3,3,4\}$	Шестнадцатиячейник
$4$	$\{3,4,3\}$	Двадцатичетырёхъячейник
$4$	$\{5,3,3\}$	Стодвадцатиячейник
$4$	$\{3,3,5\}$	Шестисотячейник
$\geq 5$	$\{3,...,3\}$	Симплекс
$\geq 5$	$\{3,...,3,4\}$	Гипероктаэдр
$\geq 5$	$\{4,3,...,3\}$	Гиперкуб

См. также

• Формула Шлефли
• Эйлерова характеристика
• Правильные N-мерные многогранники

Литература

• Николай Вавилов КОНКРЕТНАЯ ТЕОРИЯ ГРУПП I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ