Символ Шлефли

Символ Шлефли — комбинаторная характеристика правильного многогранника, применяется для описания правильных многогранников во всех размерностях. Назван в честь швейцарского математика Людвига Шлефли, который внёс значительный вклад в геометрию и другие области математики.

Построение

Символ Шлефли для правильного многогранника $\Gamma$ размерности $n$ записывается в виде $\{p_{1},p_{2},p_{3},\ldots p_{n-1}\}$. Он индуктивно определяется следующим образом: определим $p_{1}$ как число сторон двухмерной грани многогранника $\Gamma$. Затем зафиксируем одну из вершин $P$ многогранника $\Gamma$ и рассмотрим все вершины, соединённые с ней ребром. Все они лежат в одной гиперплоскости $H$, ортогональной к оси, соединяющей центр многогранника с вершиной $P$. Сечение многогранника $\Gamma$ гиперплоскостью $H$ представляет собой правильный многогранник $\Gamma ^{\prime }$ размерности $n-1$. Поскольку все вершины $\Gamma$ равноправны, тип этого многогранника не зависит от выбора вершины $P$. Теперь определим $p_{2}$ как число сторон двухмерной грани многогранника $\Gamma ^{\prime }$. Продолжая действовать таким образом до тех пор, пока получающееся сечение имеет двумерную грань, мы получим символ Шлефли многогранника $\Gamma$. Таким образом, символ Шлефли $n$-мерного многогранника состоит из $n-1$ целого числа $\geq 3$.

Примеры

Размерность пространства	Символ Шлефли	Многогранник
$2$	$\{3\}$	Правильный треугольник
$2$	$\{4\}$	Правильный четырёхугольник
$2$	$\{5\}$	Правильный пятиугольник
$2$	$\{6\}$	Правильный шестиугольник
$2$	$\{n\}$	Правильный n-угольник
$3$	$\{3,3\}$	Правильный тетраэдр
$3$	$\{4,3\}$	Куб
$3$	$\{3,4\}$	Октаэдр
$3$	$\{3,5\}$	Икосаэдр
$3$	$\{5,3\}$	Додекаэдр
$4$	$\{3,3,3\}$	Пятиячейник
$4$	$\{4,3,3\}$	Тессеракт
$4$	$\{3,3,4\}$	Шестнадцатиячейник
$4$	$\{3,4,3\}$	Двадцатичетырёхъячейник
$4$	$\{5,3,3\}$	Стодвадцатиячейник
$4$	$\{3,3,5\}$	Шестисотячейник
$\geq 5$	$\{3,...,3\}$	Симплекс
$\geq 5$	$\{3,...,3,4\}$	Гипероктаэдр
$\geq 5$	$\{4,3,...,3\}$	Гиперкуб

См. также

• Формула Шлефли
• Эйлерова характеристика
• Правильные N-мерные многогранники

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Символ Шлефли (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Николай Вавилов КОНКРЕТНАЯ ТЕОРИЯ ГРУПП first draught (недоступная ссылка)